См. затя́г, затянутый.

Термин происходит от неписанной нормы ношения военной формы одежды, согласно которой солдатский ремень должен быть затянут настолько чтобы в случае проверки, при оттягивании за ремень, в образовавшееся пространство не пролазил кулак (мужской, по умолчанию).

Соответственно, тот военнослужащий, чей ремень затянут согласно норме, – будет именоваться «затянутым», а тот, чей ремень, напротив, пропускает кулак и более, – будет «расслабленным».

Для меня затянутый ремень был не в напряг, а даже как защита. А еще такой прикол был: натянутость ремня проверялась накручиванием бляхи вокруг свой горизонтальной оси. Сколько раз провернется бляха, столько и будет последующих взысканий – это могли быть отжимания от пола, ползанье под койками (т.н. «обкатка танками») и еще много других способов подавления личности в аспекте воспитания воина.
(Суконкин А.С. «Запах армии»)

Армейский жаргон